＜メッシュジェネレーター＞

#　2001年5月24日# 01時18分(木曜日)# wakaba#

1プッシュ、全自動とまではいいませんがソリッド形状を6面体に切ってくれるいいメッシュジェネレーターなどがありましたら教えて下さい。価格等もわかれば・・・
解析種は構造で、あまり複雑な形状（車のエンジンのような）は想定していません。

#　2001年5月24日# 12時20分(木曜日)# モＬＤ#
>メッシュジェネレーターなどがありましたら教えて下さい。
by　wakabaさん
私も、あったら知りたいのですが
以前、kubr**など評判よかったというようですが、、、
私は、節点群の、ＣＡＤの回転、押し出し、SWEEPで作成するようにしてます。

#　2001年5月26日# 16時16分(土曜日)# ハッピー#
Ｍａｒｃのヘキサと言えば、Mentatのオプションとしてヘキサメッシャーがありますね。
http://www.mscsoftware.co.jp/product/mentat/index.htm
Voxelconのように鬼のような細かいヘキサに切るのではなく、内部は粗くして表面だけ細かく切って、
その粗密結合にＭａｒｃのTying機能を使うという、少しは頭を使った自動メッシャーです。
でも粗密のバランスをうまく取るのは難しいかも知れません。
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜応力の件＞

#　2001年3月24日# 10時04分(土曜日)# ハッピー#
>3節点3角形要素で正確に節点の応力を求めるのは難しいようですね。
byたけさん
いや、定歪み要素の場合、節点値を求める前の要素応力、節点変位の精度からして悪いんですよ。驚くくらい。

>将来的には6節点3角形要素が良さそうなので時間があったらこれに挑戦してみようと思います。なにかわかりやすい解説書とかありませんか？
「有限要素法ハンドブック」には殆どの要素が記載されていて、学生の時はこれを見ながら20節点6面体要素のプログラムを作ってましたが分かり易いかどうか．．．
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜6面体（ヘキサ）メッシャー）＞

　# ハッピー 　# 1999年8月21日(土)00時17分 #

KUBRIXっていう6面体自動メッシュ切りソフトを見たこと＆使ったことの
ある人はいませんか？

http://www.hpc.comp.nec.co.jp/mediator/sxm_j/software/125.html

ＨＰを見ても文章だけでさっぱり分からないんです。
　

　# よし☆彡 　#2000年4月20日(木)02時06分 #
私が知ってる限りでは、6面体はクボタさんの作られたメッシャーが
大変品質のよいメッシュを自動作成してましたK何とかって名前だったと思います。
KSWADではありません。
　シェルではマツダさんがファジー理論を元にきれいなメッシュを作られてました。
どこかで論文発表されていると思います。
3角でよければ、Vectorでフリー、ソースコード付きで研究成果を公表されてます。
海外を探すと3角のソースコードは腐るほどいろんなタイプがソースで公表されてます。
英文ってところがネックですが（笑）


　# ピンクのムカデ　#2000年4月20日(木)09時24分 #
6面体自動要素分割について、昨年末からベンチマークをしましたので概要を紹介します。
数社のベンダーに対して私共の各分社毎にモデルを提供して要素分割をお願いしました。
私共からは、Ｉ－ＤＥＡＳで作成した掃除機のサゲテ（持ち運ぶときに使う樹脂の取っ手）を事例にしました。実は、この部品は、解析的にはＳＨＥＬＬでモデル化すべきなのですが、設計現場が、せっかく3次元データを作ったからそのまま解析モデルにしたいと要望を実現するために（4面体で要素分割した後の結果精度までは感心なく！）Ｖｅｒ2．1からバージョンが上がる（新機能で良くなりましたよという声にだまされ）たびに、また駄目かと苦い思いをしている自由曲面の薄板のカタマリにリブが配された部品です。
最近は、3時間ぐらいグチャグチャモデルをいじると4面体で切れるようになりましたが・・・

　結果は結果ですのでベンダーさんには悪いですが紹介します
　　ＩＣＥＭ、ＫＵＢＲＩＸ　次期バージョンで再トライさせてください
　　ＣＡＤＡＳ　　　　　　　お見事でした
ただ、ＣＡＤＡＳは私共が考えている設計者が簡単に使えるというものとは少し違いこのＨＰに頻繁に書きこみされておられるマニアックな方達には大いに受けるソフトという印象を持っています。
ＣＡＤＡＳでお世話になったＨ製作所のＴ氏は社内でＣＡＥユーザー会を立上げられた方で知り合いになれて良かったと思っています。（結果は良かったけど買えないお詫び）

メッシャーを変換すると「滅私ゃー」になるのは苦労を判ってくれているのでしょうか？


　# ハッピー　#2000年4月21日(金)00時39分 #
>私が知ってる限りでは、6面体はクボタさんの作られたメッシャーが
>大変品質のよいメッシュを自動作成してましたK何とかって名前だったと思います。
>3角でよければ、Vectorでフリー、ソースコード付きで研究成果を公表されてます。
byよし☆彡さん
三好先生の断面法（だったかな）をクボタさんが導入していたと思いますが、それかな？
一度、クボタさんに問い合わせてみます。
「3角」というのは平面メッシュということですね？テトラのフリーウェアもあるのでしょうか
休日にネット検索してみます。
有り難うございました。

>ＩＣＥＭ、ＫＵＢＲＩＸ　次期バージョンで再トライさせてください
byピンクのムカデさん
ＫＵＢＲＩＸは、ヒアリングしたところ、表面の節点が、Surfaceに乗らない事があると聞いたのでまだイカンなと思いました。

>　　ＣＡＤＡＳ　　　　　　　お見事でした
>ただ、ＣＡＤＡＳは私共が考えている設計者が簡単に使えるというものとは少し違い
>このＨＰに頻繁に書きこみされておられるマニアックな方達には大いに受けるソフト
>という印象を持っています。
マニアックな方達？。私は含まれるのでしょうかね。
ちょっと当たってみます。有り難うございます。

何とか、モデラー＆メッシャーを自作できる裏技が無いものかと毎日、ＲＰで
作った樹脂モデルを眺めては、ため息をついています。目標は、代表寸法を入力するだけの完全自動生成なものですから。


# いなちゅう 　# 2000年6月8日(木)09時45分 #

昨年KUBRIXを試用したので、簡単に感想を
・かなり全自動にちかい(コマンドひとつ)
もちろん3DCADでブロック分割が必要な場合はある。
・特定の形状に対してかなり有効(具体的には申し上げにくい)
有効でない場合もあるという事
とりあえず良い点を書いてみました。
CADAS/geoやICEM CFD/CAE等と近い考え方の製品だと思います。
違う考え方のソフトとしては、AVL/FAMEとMENTAT/HEXMESH(今あるかどうか
分からない。)などがあります。
(編集担当：imada 2001/12/13)

＜風来坊のヘキサ要素復習会＞

　# 風来坊 　# 1999年7月11日(日)09時23分 #

皆さんご存じのようにＦＥＭには様々な要素タイプが有ります。
一口に「ヘキサ」といっても数種類有りそれらの特性は大きく異なります。
ここでは、良く使われるヘキサ要素について駄弁ってみます。

1．ヘキサ要素の種類
（1）ノーマル8節点要素（以下、Ｎ8）
教科書に出てくる、1次内挿関数を用いた要素。（マニュアルに何も書いて
いなかったらこの要素じゃないかと思っています。）
・積分点は2×2×2＝8点。
・もっとも素直な要素で、メッシュを細かくするほど精度は上がる。
（ＦＥＭは分割が粗いと、剛性を高め評価→変形過小評価→応力過小評価
であり、分割を細かくすると真の解に対し下から漸近する）
（2）ノーマル20節点要素（Ｎ20）
・2次内挿関数を用いた要素。
・積分点数は3×3×3＝27点。
・Ｎ8に比べると格段に高精度。辺が曲線になれるため、形状の近似度も高い。
・辺上の節点は通常、辺の中点に置きますが、少しくらいはずれていてもＯＫ。
・ただし、辺上点が辺を1：3に内分する位置にあると、内挿関数の微分に特異
性が生じて、応力が無限大になってしまう点は要注意。逆に、この特性を利用し
てき裂先端の特異応力場を精度良く表すことが出来る。つまり、辺Ａ－Ｂ上に
中点Ｃがある場合、節点Ａをき裂先端位置に置き、Ｃを1：3の位置に置くと
Ａからの距離ｒに対しｒ→0（つまりＡに近づく）でσ→無限大になります。
なお、き裂の解析をする場合は、ヘキサの一面をつぶして3角柱にします。
Ｄ－－－Ｇ－－－Ｃ Ｃ
｜ ｜ ／ ｜
｜ ｜ ／ ｜
Ｈ Ｆ ＝＝＞ Ｇ Ｆ
｜ ｜ ／ ｜
｜ ｜ ／ ｜
Ａ－－－Ｅ－－－Ｂ A,H,D－Ｅ－－－Ｂ
き裂先端
この、H,Dの変位をAに従属させるかしないかで特異性を1/rまたは1/sqrt(r)
に変える事が出来、それぞれ弾性特異応力場、弾塑性特異応力場の近似となり
ます。
・注意点として、等価節点力の符号が隅節点と辺上節点で異なることが挙げら
れます。これは接触問題にＮ20を適用する場合に問題なり、接触判定が収束
しないケースが頻発します。（節点の Close→Openは節点力の符号が正or負で
判定しますが、隅節点と辺上点が常に逆の状態のため判定できない）
結果、接触部分には適用できないと判断しています。
（ABAQUSには、2次テトラ要素でこの問題を解決した優れものが加わったので
私はこれを愛用しています。）
（3）低減積分8節点要素（Ｒ8（Ｒ：Reduced Integration））
・Ｎ8に対し、積分点数を1点としたもの。
・積分点数を減らすということは、剛性マトリックスの積分が「不完全」積分
になるわけですが、これが結果的に剛性を低めに求めることになります。Ｎ8
では真の解に対し剛性が高めであるのを補正することが目的で、Ｎ8に比べ、
荒い分割でも精度の高い解が得られる場合が有ります。但し、Ｎ8のように、
分割数を細かくしても単調に真の解に近づくわけではなく、柔らかすぎる解
となることもあり、分割数から精度をにらめないので扱い難いと思います。
・積分点数が少ないので、弾塑性、衝突などの計算量を抑えるには有効でしょ
うか。
・隣り合う要素が台形状に変形する「アワグラス（HourGlass＝砂時計）」
変形は生じ易いように思いますので要注意かな。
（4）低減積分20節点要素（Ｒ20）
・Ｎ20に対し、積分点数を8点としたもの。
・基本的にはＮ8→Ｒ8の関係と同じ。
・Ｒ8に比べると、元々の精度が高いせいも有り、分割を細かくした場合の
挙動は素直だと思います。
（5）選択的低減積分8節点、20節点要素（ＳＲ8、ＳＲ20）
・Ｎ8，Ｎ20では特にせん断ロック（せん断剛性が特に高めになる）の問題
があるため、剛性マトリクスのせん断項の積分のみ低減積分としたもの。
・確か、ＡＢＡＱＵＳは標準がこれだったように思います。
ＭＡＲＣではオプションを立てればこの機能を使えたかな。
（6）非適合8節点要素（ｉ8（ｉ：Incompatible））
・Ｎ8に対し、曲げの非適合変形モードを重畳させたもの。
通常の要素では、隣接する要素で節点＆面を共有することで変位の連続性を
保っています。これに対し、ｉ8では、連続性を無視した曲げ変形を重畳さ
せます（想定歪み理論）。変形図からは、何事もなかったような連続したメ
ッシュしか見えないのですが、内部的には隣接要素で口開きや食い込みが生
じていることが有り得る。
・「なんて無茶な！」と思えるでしょうが、これが曲げ変形に対し抜群の精
度を発揮することになります。例えば、片持ち梁の計算をする場合、Ｎ8では
梁の長さ方向×高さ方向に10×5分割程度必要でしょう。でも、ｉ8なら
1要素で梁理論の曲げ変形に一致します。梁要素が1要素でｏｋであるのと
同じ事です。
（但し、あくまで曲げに対し高精度であるだけでせん断変形支配の場合には
優位性は少ないと思います。）
・NASTRANは標準がｉ8です（そもそも1種類しかない）。ABAQUS、MARCでは
選択できます。
・注意点として、ｉ8がはり理論解の精度を発揮できるのは直方体の場合で、
要素形状が歪んでくるとその精度はグーンと落ちます（元が素晴らしいだけ
にその落差が目立つ）。ただ、Ｎ8よりは十分高い精度はキープできている
ようです。よく、ＦＥＭソフトの例題集などで精度の検証例がありますが、
要素が歪んだ場合の検証は殆ど有りませんので要注意と思います。
（NASTRAN、ABAQUSはシェル要素に関しても面内変形にこの非適合モードを
適用しています。）
（7）他
他に、ABAQUS、MARCなどの多目的ソルバーには、混合法要素（変位法＋応力法）
を始め盛りだくさんの要素種類がありますがここでは省略します。

ということで、一口にヘキサといってもいろいろあり、誰かさんが解析した
メッシュを参考にしてメッシュを切ったとしても同じ精度の解が得られるとい
う保証はありません。特に、ｉ8、Ｎ20とその他要素との差は大きいと思い
ます。私は、ＦＥＭソフトを使う場合、まず要素の精度チェックをし、その特
性をつかむよう心がけています。他人の評価（含むマニュアル）を鵜呑みのせ
ず自分の解析対象に即した問題で評価することが必要と思っています。

ということで、私はｉ8と「優れもの2次テトラ」の常用者です。

＃ここに書いたのは、あくまで私の経験に基づく私見で、普遍性がある
とは思っていません。是非、皆さんが使っておられるソルバーでご確認下さい。


　# 風来坊 　# 1999年7月11日(日)09時50分 #

平謝りです。 風来坊です。
またつぶれてしまった。
下の図で「－」はスペースです。「＋」が要素辺を表します。
済みません、未熟者で。

Ｄ＋＋＋Ｇ＋＋＋Ｃ－－－－－－－－－－Ｃ
＋－－－－－－－＋－－－－－－－－／－＋
＋－－－－－－－＋－－－－－－－／－－＋
Ｈ－－－－－－－Ｆ－＝＝＞－－／－－－＋
＋－－－－－－－＋－－－－－Ｈ－－－－＋
＋－－－－－－－＋－－－－／－－－－－＋
Ａ＋＋＋Ｅ＋＋＋Ｂ－－A,H,D＋Ｅ＋＋＋＋Ｂ
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿き裂先端
これでだめなら諦めます
(編集担当：imada 2001/12/13)

＜なぜヘキサ要素なのか？＞

# 風来坊 　# 1999年7月4日(日)19時24分 #

市販ＣＡＥ（プリポストプロセッサ）に関して感じるところを書いてみました。

市販ソフトがなかなか我々のニーズに合致しないのは、ＣＡＥを開発している
エンジニアの中で、実際に設計のための解析をし、結果に基づいて設計判断を
した経験がある人が少ない(と思われる)点に一因があるのかなぁと感じています。

1．何故ヘキサ要素なのでしょう？という疑問
一般にヘキサ要素（6面体）の精度が高いといわれ、パンフなどにも整然とヘ
キサで作られた見た目のきれいなメッシュが使われますが、良く見ると、応力
分布が緩やかな部分が必要以上に細かく、一方で応力集中が生じそうなところ
が大胆に粗くなったり要素が歪んでいる例が少なくありません。或いは、ヘキ
サ要素がグラデーションのように徐々に細くなっていて、極めて細長い平行四
辺形になっている例も見かけます。このように実際に設計解析を行っている
エンジニアの解析例とは思えない場合があります。言うまでもありませんが精
度を確保するには、メッシュの疎密をつけることと要素形状をつぶさないこと
が重要です。
私は、メッシュ切りに関しては「適材適所」を基本方針とし、複雑形状で応
力集中も生じるようなところはテトラ2次要素で疎密を付けてメッシュ切り
し、形状が単純なところは、ヘキサ要素（場合によっては1次テトラ）とし
て、これらのメッシュパターンの異なるブロックを変位拘束条件で接合してい
ます。この接合条件式は、NastranではＭＰＣ，MarcではServolink、Abaqusで
はEquationまたはContactpairといったコマンドとなりますが、これらに必要
なデータを自動生成するツールを作成しています。以前のように、メッシュの
整合性を保ちながら3次元メッシュの疎密を付ける作業は極めて厄介でした
が、ブロックごとの処理に分けることでメッシュ作成作業は（少なくとも私の
ところでは）劇的に楽になりました。
（疎密結合は、マスター／スレーブ関係でスレーブ側の節点をマスター側要素
の面上に内挿関数を使って拘束するため、変位の連続性の点からスレーブ側要
素の面が複数のマスター面にまたがっていないことが理想です。といっても実
際にはメッシュパターンが異なっているためこれは難しいのが現実です。そこ
で「両面テープ法」と私が名づけた手法で、十分細かく切った薄いメッシュ層
を間に挟み、その両面をスレーブ面にして相対するマスター面と接合すること
で近似的に連続性を満足させる方法もケースによっては適用しています。）
流体解析の世界ではソルバーとプリポストが一体になっているケースが多
く、例えばＳｔａｒＣＤなどではこのような不整合メッシュの設定をプリがサ
ポートしているようですが、構造解析ではプリポストがソルバーと独立してい
るせいかどうか分かりませんが、プリの機能不足のためにせっかくソルバーに
ある疎密結合機能が生かせません。一方で市販ソフトはヘキサ自動メッシュに
力を入れているようですが、これは5年かけても難しいし、肝心なところのメ
ッシュが歪んでいては本末転倒です。設計に使うわけにはいきません。2次テ
トラであれば精度も十分でかつ疎密も付けやすい。かといって全体を2次テト
ラにすると節点数が膨大になるためヘキサ（場合によっては1次テトラ、
シェル、ビームとも）と組み合わせるというのが現時点でのベストではないか
と思っており、この対応機能をプリには望みたいと思っています。

2．「肝心の力の流れが分からない」という疑問
ポストプロセッサの多くは応力のコンター図でミーゼス応力や、主応力、応
力成分の表示が可能です。確かに、降伏するかしないか疲労強度はどうかと
いった強度チェックは出来ます。しかし、解析でまず重要なのは、構造物に生
じる力の流れ、荷重モードを把握することにあります。力の流れに基づいて、
補強したり減肉したり或いは構造全体の見直しが行えます。この力の流れを把
握するには、主応力ベクトル図（主応力の向きと大きさをクロスする矢印で表
示）が有効なわけですが、何故か最近のポストプロセッサーはこれを軽んじて
いるように思います。作図機能がそもそも無い物や、あってもソリッド要素の
中心で表示するためベクトルが重なってとても使い物にならないものなどなど
です。破壊は多くの場合、材料の表面から生じるわけですから、ソリッドの表
面（シェル要素に関しても）で主応力ベクトル（要素面に投影した）を表示す
べきだと思います。
このため、私はソリッド要素の表面にごく薄いメンブレン要素を張り付け、
このメンブレン要素の主応力ベクトルを表示する方法をトライしてます。「歪
みゲージ要素法」と勝手に呼んでいますが、3軸ゲージを表面の全ソリッド要素
面に貼り付けて解析するようなものです。大規模メッシュではベクトルが判読
し難くなりますが、この辺りは流体解析ポストが流速ベクトル表示に使っている
テクニック（間引き、ベクトルの大きさは色で表す...）等を使えば問題無い
はずです。
また、ミーゼス相当応力のコンター表示機能がどのポストにもありますが、
ミーゼスでは引っ張りも圧縮もプラスの値になるため荷重モードが分かりませ
ん。このため、引っ張り場ｏｒ圧縮場を判定してミーゼスに符号を付けてプ
ロット出来るようにしています。主応力で評価する場合は、最大＆最小主応力
図を2枚並べて見ても荷重モードを把握するのは困難なため、各要素毎に最大
主応力と最小主応力の絶対値の大きな方をプロットする「絶対値最大主応力
図」なるものを作図することで、応力レベルと荷重モードチェックを容易にし
ています。
さらに、シェル要素のメンブレン応力、曲げ応力の分離や、ビーム要素に関
し断面最大応力の推定（多くのソルバーが出力するのはビーム断面の4点にお
ける応力値ですが、これがピーク値を表している保証は全く無い）などの加工
も行っています。
要するに、ポストプロセッサが設計に必要な情報を提供していない、つまり
開発者が恐らく実際に解析＆設計評価をしていない？．．．という疑問です。

3．「計算機能力におんぶしていませんか？」という疑問
計算機能力、グラフィック能力の飛躍的に伴い、10万節点規模の解析も当
たり前に出来るようになってきましたが、いくら計算機が速くなってもプリ・
ポスト処理が重いものは重い。ソルバーは夜中にでも実行できますが、プリポ
ストが遅いとストレスが溜まります。機能の拡充も必要ですが、基本的な機能
（メッシュ生成、作図処理）のアルゴリズムの高速化に注力して欲しいと切に
願っています。
ソリッド要素に関しては、一旦メッシュが出来てしまえば、境界条件の設定
やポスト処理は構造表面のみが対象になる場合が殆どです。そこで、表面のソ
リッド要素面に一致したシェル要素を自動生成し、ソリッド要素は「非表示」
とすれば「軽い」シェル要素のみで形状が表せます。これに境界条件を設定
し、その条件をソリッド要素に転写するツールを作成することでデータハンド
リングをかなり楽にすることが出来ました。まだ実施していませんが、ポスト
処理もこの表面シェル要素に情報を渡して作図するようにすれば、陰線処理、
回転などの大幅な高速化が期待出来るのではないでしょうか？

＃ソフト会社は最先端マシンで開発されるものと思いますが、ユーザーが使う
マシンは 必ずしもそうでない（ソルバーのマシンにプリポストのマシンが追
いついていないケースもある）ので．．．

4． 「3次元ＣＡＤから取り込んだ形状データを修正する必要がある」という
問題は、
・データ変換不良による形状欠落、不整合の補修
・解析に不要なフィーチャーの除去or単純化
で、前者に関しては、ＣＡＤ間のデータ変換の問題と基本的には同じ事です
ね。日経デジタルエンジニアリングにはデータ変換不良の最大の要因は3次元
モデルの質にあるとのことなのでＣＡＤ担当者と解析担当者が十分意見交換す
ることで改善が期待できるのではないでしょうか。あと、トレランスの問題も
重要なのでしょう。ＳＴＥＰが普及すれば改善が期待できるのでしょうか。
後者の単純化に関しては、ＰＤＭで管理されるＣＡＤモデルの方を修正する
訳にはいかないので、ＣＡＥ側で行う必要があると思いますが、これを自動化
するのは長くて遠い道だと思います。例えば板のモデル化に関し、中立面定義
だけであれば、既にいくつかの市販プリが機能に加えていますが、板部材と板
部材の溶接接合部（接合する板の中立面が不連続となる）をどうするかまでは
自動化できません。さらに板部材に対する棒状の補強部材を梁要素でモデル化
しようとするとさらに話がややこしくなります。また細かなボス穴が剛性には
効かないから省略できるかといっても、例えば熱応力が発生する可能性がある
かもしれない。
このような単純化＝モデル化は工学的判断が必要であり、計算機性能が二桁あ
がって単純化しなくても計算できるようになるまでは、修正作業は止む無しと
思っています。
因みにＰＡＴＲＡＮは複雑な形状や口開きなどの不整合部を「ビニールシート
で覆う」ように単純化＆平滑化＆連続化する機能がＶｅｒ8で加わりました。
まだ使っていませんが。

＃実のところ、私がＣＡＥでもっとも不満を感じているのは、ＦＥＭ理論その
ものが大して進歩していないのではないか？ということです。学生のときに、
鷲津先生、ツイエンキビッツ大先生の本を読みながら2次ヘキサＦＥＭを作り
特異応力場の計算をしていましたが、あれから15年以上たって、何がど
う進歩したのだろうかと感じます。線形、定常問題であれば計算機が飛躍的に
速くなった今では、ＢＥＭ，Ｔｒｅｆｆｔｚ法などの境界解法の方が圧倒的に
有利でしょう。プリや求解法の開発以上に解析理論のブレークスルーを期待し
ているのですが．．．（例えば、ＥＦＧＭやＢＥＭで剛性マトリックスを作成
する任意多面体要素なんていうのは提案されているのでしょうか？）

（その2）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

コンター（等高線）処理について私が理解しているところを説明します。

1．三角領域のコンター
まず、一般にコンター（等高線）は、三角領域単位で描くことを理解して下
さい。今、点a,b,cを頂点とする三角領域を考え、各点での変位、応力などの
物理量がVa=15,Vb=25,Vc=35であるとします。ここで V=20の等高線を引く場合
を考えます。まず、この等高線は辺a-b、a-cを通ることは容易に分かります。
この辺a-b、a-cとの交点は辺上での分布が直線状であると仮定して「内分」の
考え方で決めます。つまり、辺a-bに関しては辺を2等分する点、辺a-cに関し
ては辺を 5:15＝1:3に内分する点となります。このようにして求められた交点
結ぶ線分がV-20の等高線になります。この処理を全ての三角領域で行うこと
で、連続した等高線が得られます。
4角形要素の場合は、一本の対角線で2つの3角形に分けるか、要素中央に
点を追加してこの点を頂点として4辺を底辺とする4つの3角形に分けてそれ
ぞれの3角形で同じ処理を行います。（中央点の座標、物理量は4頂点の平均
とします。）

2．節点値の決定
コンターを描くにはまず節点値が必要です。変位、温度などの節点量はその
ままＦＥＭ結果を用いれば良いのですが、応力、歪みなどは要素単位で求めら
れるため、何らかの処理によって節点値を決める必要があります。

2－1 ＦＥＭソフトからの出力
要素出力点は解析ソフト、要素タイプによっていくつかの種類があります。
（1）積分点：要素剛性マトリックスを算出する積分点で計算
（2）中心点：要素座標系の原点に相当する点で計算
1次3角形、1次テトラ、低減積分4角形では積分点数＝1となり
積分点値＝中心点値となる
（3）コーナー応力＝節点応力：
節点位置での応力ですが、これを求めるには
①節点位置でヤコビアンマトリックス（座標変換）を求め、節点変位か
ら歪み＆応力を計算する。弾性解析の場合のみ可能
②積分点で求められた応力から外挿で求める
ＦＥＭでは要素内の変位分布を節点変位を用いて記述するのに内挿
関数 Ni（形状関数）を用いますが、この Niを用いて逆に積分点応
力から節点応力を外挿するわけです。（つまり、要素内の応力分布
が変位と同じ関数で記述できるという物理的には意味が無い無茶な
仮定をしているわけで、あくまで便宜的な手法です。）
この外挿は、最小二乗法を適用して得られる連立方程式を解くこと
で行えます。

2－2 ポストプロセッサーでの要素ごとの節点値の決定

ここからＦＥＭの結果ファイルを読み込んだポストプロセッサーの処理です。
まず、各要素について、構成節点における値を求めます。

（1）ＦＥＭソフトから要素中心点の値 Vcenterしか得られない場合は、その
要素内では一定とみなすしかなく、構成節点全てに同じ値が当てられ
る。
つまり Va=Vb=Vc=Vd= Vcenter
（2）ＦＥＭソフトからコーナー点値が得られている場合
ポストプロセッサーがＦＥＭソフトの結果ファイルとインタフェース
が取れていれば、このコーナー点値がそのまま節点値となります。
（ABAQUSは要素単位で節点値を外挿出力できますが、一部ポスト
プロセッサは、これらのデータをファイルから読み取れません。）
（3）ＦＥＭソフトから積分点値が得られている場合
ポストプロセッサーによっていくつかの処理の仕方があるようです
①上述のような、形状関数Ｎｉを用いて節点値を外挿で求める
②節点に最も近い積分点の値をそのまま当てはめる（こんな乱暴な市販ソ
フトもあるのです）
③一切、節点の外挿は行わない
一部ソフトには①、②のような「推定」機能はなく、ＦＥＭソフトが出力
した値をそのまま用います。例えば、ABAQUSで積分点出力した結果を読み
込んだ場合、「どの積分点のコンターを描きますか」を選択する必要が
あります。「そんな馬鹿な」と言いたくなりますね。

2－3 節点値の決定

2－2の方法で各要素ごとに節点値が求められますが、各節点は複数の要素に
属しているため、同一の節点について複数の応力値が求められることになりま
す。一方、連続したコンターを描くには節点毎に単一の代表値を決める必要が
あります。これが 平均化＝Averagingと呼ばれる処理です。
今、節点aが4つの要素o,p,q,rに含まれているとすると、aにおける節点値と
して、Vo_a,Vp_a,Vq_a,Vr_aがあり、これから節点aの代表値Vaを求めるわけで
すが、いくつかの考え方が有ります。
（1）単純平均で求める。
Va=(Vo_a＋Vp_a＋Vq_a＋Vr_a）／4
もっとも一般的な方法
（2）要素の面積（体積）の逆数の重み付き平均
Va=(Wo*Vo_a＋Wp*Vp_a＋Wq*Vq_a＋Wr*Vr_a）／Wsum
ここで、Wo＝1/Ao..... Ao：要素 o の面積
これは、小さな要素で求められた値の方が精度が高い可能性があるとの
考え方によるもの。
（3）要素中心と節点との距離の逆数の重み付き平均
（2）と同様。節点に近い要素の方が精度が高い可能性があるとの考え方
（4）最大値を選択するもの
Vo_a,Vp_a,Vq_a,Vr_aの中の最大値を Vaとする。
この場合、圧縮応力や最小主応力のような「負の量」には注意が必要

3．コンターの作図
節点値が求まると、あとは先に述べた「三角領域のコンター作図」を単純に
繰り返すことで、全体のコンター図が得られます。

なお、「三角領域のコンター」以外のロジックとして、
（1）4角形領域の辺上の等高線との交点を直接結ぶ方法
このロジックでは、4辺全てに交点（上述の内分点）が存在する場合、
線分の結び方に2通りあるため誤ったコンターとなる確率が1／2であ
り問題がある。
（2）走査線のような水平線を画面上から下に移動させながら、走査線上の交
点を結んでいく方法（これは文章では説明し難い）
このロジックでは、メッシュを回転させるとコンターの形状が変わって
しまう問題がある

4．コンター作図の問題点

（1）平均化処理は連続的なコンターを得るための処置ですが、本来応力が不
連続となるところまで平均化してしまうと、意味の無いコンターになっ
てしまう。
例えば、パネルをリブで補強した構造をシェル要素でモデル化した場
合、パネルとリブの間では応力は不連続となるが、これを平均化してし
まうと最大応力値が低めに表示されてしまう。板厚の異なる部材を付き
合わせ接合した場合も同じ。
-->このような応力不連続部の節点では平均化を避けることが必要。
上の補強リブ付きパネルの場合、応力が不連続となるのは、リブとパネ
ル間だけでなく、パネル側もリブとの接合線を境界に不連続となる点に
要注意

（2）ＦＥＭの結果として得られるのは積分点ないし中心点における値です
が、上記のような外挿による節点値決定、節点平均化、内挿（分布が直
線的であると仮定している）の結果得られた等高線が、積分点において
ＦＥＭの出力値と異なったものになってしまう。つまり、コンター図か
らはＦＥＭソフトがはじき出した値を読み取れない。
（コンター図を見て応力が許容値をクリアしていると見えても、ＦＥＭの
結果ファイルの積分点値は許容値を超えている場合が有り得る！！）
私は、この点に我慢できず、積分点値を読み取れる究極のコンター作
図法として、積分点を頂点とする「作図用」3角形メッシュを作り、コ
ンター作図を行ったことが有ります。（3次元だと、全積分点をDelauny
法でテトラ要素形に結ぶことになる）この方法だと、上記のような外
挿、平均化が一切入らないためコンター図が積分点値と一致します。
唯一の難点は、構造表面の応力値を推定することができない点です。
もっとも表面部を十分細かくメッシュ切りしておけば、表面近傍の積分
点値が表面応力にほぼ等しいわけですし、意味のない外挿を行うよりは
マシ、ですから、やはりこの手法が究極かもしれません。


ＦＥＭからの出力に始まり、外挿、平均化、コンター作図とそれぞれにいろん
な手法があることがお分かりいただけたかと思いますが、どの手法が Betterな
のかは対象とする問題によって変わるわけですから、一度じっくり考えてみる
べきだと思います。特に、ＦＥＭソフトとポストプロセッサーが別会社製であ
る場合には要注意です。

因みに、私はシェル要素で解析した場合、（1）結果ファイルから要素毎に積
分点の最大値を抽出して、これを中心点値として結果ファイルを書き換え、
（2）ポストプロセッサーでは「中心点値について一切の平均化をしない（つ
まり要素ごとに塗り分ける）」ことで、ＦＥＭのピーク値をコンター図から読
み取れるようにしています。


以上、大変長くなりましたが、一見きれいなコンター図も実はいろんな問題を
はらんでいることがお分かりいただけたのではないでしょうか。
(編集担当：imada 2001/12/13)

＜構造解析用ＨＥＸＡメッシュ探してます＞

#岡本 雅之#1月27日（火）20時41分06秒#
構造解析用のオートHEXAメッシュソフトウェアを探しています。
ＳＧＩで動く良いソフトウェアをご存知でしたら教えてください。
それでは失礼致します。

#森川#2月3日（火）15時49分09秒#
私の知っている範囲ですが、現在ＨＥＸＡメッシャーとして市販されているものは
下記の3つです。いずれも、たぶんＳＧＩで動くのでは（要、確認ですが）？
①　ＫＵＢＲＩＸ（米ＳＷＩ社製）
②　ＨＥＸＡＲ　（ＣＲＡＹ社製）？
③　MENTAT/HexaMesh（ＭＡＲＣ社製）

#ちょく#2月4日（水）10時50分19秒#
実は私も六面体の自動メッシュに興味があり、
②「HEXER」について日本SGI・CRAY社の方に聞いたところ
「CRAY、またはSGIの上位機種についてくるソフトで単体では販売していない」
とのことでした。（要確認）
①、③について詳細を教えて下さい。また、実際に使われている方がいましたら
ご意見・ご感想をお聞かせ下さい。

#岡本#2月5日（木）01時03分32秒#
シリコンのHEXERですが、MIPS版は確かに販売してませんね。
ただし入手は可能です。
実はあれはフリーウェア扱いで、何もサポートしないんですよ。
逆にいうと何もサポートがいらないんでしたら、入手可能です。
形状等をシリコンのマーケに持っていくとベンチマークをしてくれます。
現在日本で使われている会社は3件ほど在るみたいですね。
それと、HEXERにはブラウザがありません。
どうしても形状を見たい人は、ハイパーメッシュをブラウザ代わりにしているそうです。

#小林 篤央#2月5日（木）13時45分52秒#
当方も以前から6面体の自動メッシュジェネレーターを探していましたが、
今はあきらめました。その理由は以下の通りです。
1）調査時点（昨年）では研究レベルのものが多く実用に耐えれるものはなかった。
2）一昨年、「最先端メッシュ生成技術」講演会に出席しましたが、
　　自動HEXAメッシュの発表はほとんどなく、商用となると皆無でした。
3）このへんの技術は米国が進んでいますが、あまりこのへんのニュースは聞こえてこない。
ただし、当方の情報源は限りがあり、ＣＡＥの技術進歩は日進月歩なので、
是非、いいニュースをお持ちの方は教えていただければ幸いです。


　# ハッピー 　# 1999年8月21日(土)00時17分 #

KUBRIXっていう6面体自動メッシュ切りソフトを見たこと＆使ったことの
ある人はいませんか？

http://www.hpc.comp.nec.co.jp/mediator/sxm_j/software/125.html

ＨＰを見ても文章だけでさっぱり分からないんです。
(編集担当：imada 2001/12/12)