CAE

<アワグラスと選択積分>

# 2003年2月9日 # No.4753 # ふじた #
> もう既にマニュアルの断片見つけられてるかと思いますが
> 接触解析のA接触解析に見つけました。
> よし☆彡さん指摘されていることです。
> 貫通量に応じた制御をしてくれるとかかれてます。
> 変形体同志形状によっては、default値が大きすぎる場合が多々あります。
> なんかよくよく構成式をみるとペナルティ数は、アワーグラス係数に
> そっくりです。
　by チャーリーさん

ペナルティ法のとこですね。勉強になります。
・・っていうか、どこで接触の「数値解法」を指定してたっけ?
という次元の自分にびっくりだったり。。

# 2003年2月9日 # No.4754 # チャーリー #
ペナルティとも関連しますが、アワーグラスなんかは
特にCFDなんかの粘性を扱う方は、常套で苦心されているかと
おもいますが、どんな対処してるのかなー?

# 2003年2月12日 # No.4757 # 学生 #
> おもいますが、どんな対処してるのかなー?
アワーグラスモードだけを回避する手法は無いと思います.
アワーグラスを回避しようと思えば,今度はシェアロッキングという問題に直面すると思います.
両方の問題を回避するために,選択低減積分法がありますが,これを
指定することはできないのですか?

# 2003年2月12日 # No.4759 # チャーリー #
本題とは異なっていて大変申し訳ございません。
ロッキング回避で低減積分を利用しているのですが
それで、アワーグラスを発生するといった状況です。
選択低減積分は、アワーグラスを制御するアワーグラス項を
入れているという認識でよろしいですか?

# 2003年2月12日 # No.4760 # 学生 #
> 選択低減積分は、アワーグラスを制御するアワーグラス項を
> 入れているという認識でよろしいですか?
選択低減積分は,両方の問題を回避する数学的な手法と認識していただいてよろしいかと思います。

# 2003年2月12日 # No.4761 # チャーリー #
回答、ありがとうございます。
市販汎用ソルバーは、ほとんど実装されてるようですね。
選択とことわりがあるのは、Abaqus、Ansysのようですが
なにか特別なことを行っているのでしょうか?
もし御存知でしたら、教えて下さい。もちろん、推測で構いませんので。

# 2003年2月12日 # No.4763 # 学生 #
有限要素法の基礎式には積分が含まれますが,実際はそのとおりに積分は行いません。
したがって,通常はGaussの数値積分法が用いられます。その積分手法は主に以下の3種類が挙げられます。
(1)完全積分・・・過拘束問題が生じる(シェアロッキング)
(2)低減積分・・・アワーグラスモードが生じ易い
(3)選択低減積分・・・簡単に説明すると(1),(2)の中間的な手法
つまり,ソルバー(連立方程式を解くルーチンと理解してますが・・・)では積分方法は関係ありません。
剛性マトリクスを作る際に関連してきます。汎用のソフトはあまり知りませんが,おそらく積分方法のオプションがあるのでは??

# 2003年2月13日 # No.4766 # burning #
burning です。
うろ覚えですが、、、
> 有限要素法の基礎式には積分が含まれますが,実際はそのとおりに積分は行いません。
> したがって,通常はGaussの数値積分法が用いられます。その積分手法は主に以下の3種類が挙げられます。
> (1)完全積分・・・過拘束問題が生じる(シェアロッキング)
> (2)低減積分・・・アワーグラスモードが生じ易い
> (3)選択低減積分・・・簡単に説明すると(1),(2)の中間的な手法
by 学生さん

完全積分では曲げ問題でせん断ロッキングの問題があります。
低減積分は例えばひずみ(εx、εy)とせん断ひずみεxyとも要素中心の積分点で面積積分するものです。
εxyの計算は曲げ問題のときの精度に影響するため、低減積分ではεxyを一点積分することでうまくせん断ロッキングを回避してくれるような定式化をしています。
選択低減積分は、例えば(εx、εy)は通常の積分点(2次元のときは4点)で積分して、εxyは要素中心で積分するというように、項目によって積分方法を変えるものです。
詳細は「有限要素法便覧」を参照してください。

# 2003年2月13日 # No.4768 # 学生 #
チャーリーさん、そっけない返答で申し訳ございませんでした・・・。
以後,極力詳しく説明できるように努力します。
burningさん、フォローありがとうございました!!

# 2003年2月13日 # No.4769 # saito #
多分こういう展開になるだろうなと予測できたので老婆心ながら,
学生さんの書き込みがそっけないんじゃなくて
チャーリーさん自身の返答がそっけないという意味だと思いますよ。

# 2003年2月13日 # No.4773 # チャーリー #
> チャーリーさん自身の返答がそっけないという意味だと思いますよ。
by　saitoさん

学生さん　saitoさんのフォロー通りです。大変すみませんでした。
書けば書くほど、誤解されると心配なのですが
今後もどんどん投稿お願いします。
お蔭様で、学生さん、burningさん指摘の書籍も見直してます。

# 2003年2月15日 # No.4780 # burning #
burning です。

自己レスです。
>
> 詳細は「有限要素法便覧」を参照してください。

すみません、タイトル間違ってました。

有限要素法ハンドブック　I─基礎編、II─応用編　
(鷲津久一郎、他著、培風館)
でした。なんか機械工学便覧なんかと混じっていたようです。
申し訳ないです。
(編集担当：Happy 2003/10/19)

＜アワーグラス制御＞

#　2001年4月6日# 21時47分(金曜日)# モＬＤ#
一般構造非線形ＦＥＭソルバーの高次積分要素で、
アワーグラス制御は実装されているのでしょうか？

#　2001年4月7日# 00時41分(土曜日)# よし☆彡#
>一般構造非線形ＦＥＭソルバーの高次積分要素で、
>アワーグラス制御は実装されているのでしょうか？ by　モＬＤさん

　アワーグラスモードを持った要素でも、そのモードが対称性のある
モードをもってないと、隣の要素に伝播しないものとかあるので、
要素の種類によるのでは無いかな～

>あらかじめアワーグラスが出るかどうか予測って
>できるのでしょうかね？ by burning さん

じっくり考えると出来るような気がしますね～、
　　　でも、たぶんその方法は公には無いと思います。
一般的には、やはり少し流しながらアワーグラスエネルギーを
モニターする方法だと思いますね！
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜アワーグラス補足その2＞

#　2001年4月6日# 01時03分(金曜日)# burning#
こんばんは。

アワーグラスで盛り上がってますね。

わたしはABAQUSを使ってますが、ABAQUSの低減積分
要素（S4Rなど）を使って線形静的応力解析を実行
すると、たまにアワーグラスに「会う」ことができ
ます。

たとえば、教科書によく載っている穴あき板の引っ
張り問題を「粗く」要素分割して計算してみてくだ
さい。それはそれは見事なデコボコな変形図が。。。^^;

初めて見たときは「これが噂のアワーグラスか！」って
感動したものです。(^^ゞ

あと、板の固有値解析でも粗いメッシュでたまに見かけ
ます。特にプリポストで使っているI-DEASでは、ABAQUS
I/Fのシェル要素のデフォルトに低減積分要素が設定
されているので注意が必要ですね。

細かく分割しておけば問題はないのですけどね。

ところで、他のソルバーではどうなのでしょうか？

#　2001年4月6日# 01時15分(金曜日)# burning#
あ、ひとつ言い忘れました。

> わたしはABAQUSを使ってますが、ABAQUSの低減積分
> 要素（S4Rなど）を使って線形静的応力解析を実行
> すると、たまにアワーグラスに「会う」ことができ
> ます。

これらは全て、一次の低減積分要素での話です。高次
の低減積分要素では起こりません。

#　2001年4月6日# 02時14分(金曜日)# よし☆彡#
>これらは全て、一次の低減積分要素での話です。高次
>の低減積分要素では起こりません。 by　burning さん

アワーグラスは高次でも起こりますよ！(笑)
但し、低次ほど問題にならない上変形も形として
アワーグラス(砂時計)の形とはほど遠いのですが、、

#　2001年4月6日# 19時11分(金曜日)# burning#

> アワーグラスは高次でも起こりますよ！(笑)
> 但し、低次ほど問題にならない上変形も形として
> アワーグラス(砂時計)の形とはほど遠いのですが、、

そうでした。たしかに高次要素でも起こりますね。
変なこと書いてすみません。

まわりで動解析（陽解法）やっている人間がいま
すが、変形図やアニメーションを見ていると、よ
くデコボコしてます（^^;）。あわててメッシュ
分割を変更していますが、あらかじめアワーグラ
スが出るかどうか予測ってできるのでしょうかね？
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜アワーグラス補足＞

#　2001年4月2日# 15時03分(月曜日)# よし☆彡#
アワーグラスは要素剛性の問題なので、動解析だけで
発生するのではなく幾何学的非線形問題全てで発生する。
と言うことを追加した方が良いと思いますね～

たかがアワーグラスといえど、結構複雑で、
アワーグラスモードを持つ要素でも、メッシュ間で伝播
しない物があったり(高次要素)、選択でなく完全な
低減積分でもアワーグラスの発生しない要素もあるのです。

#　2001年4月2日# 19時49分(月曜日)# Duffy#
一つ質問させて下さい。
幾何学的非線形問題で起きるというメカニズムが
良く理解できないのですが。

#　2001年4月2日# 21時12分(月曜日)# よし☆彡#
要素剛性の話ですから、幾何学的非線形問題の方が
さらに進行しやすいと言う話ですよ。

　有限ひずみ等では、静解析といえど確認する方が
良いと思います。
　もし発生していたら、基本は細かくするです。
暫定はアワーグラス剛性を上げると言うことで
しょうか。人工剛性なので決めるのも難しいで
しょうけどね～

#　2001年4月2日# 23時56分(月曜日)# ハッピー#
>アワーグラスは要素剛性の問題なので、動解析だけで
>発生するのではなく幾何学的非線形問題全てで発生する。
>と言うことを追加した方が良いと思いますね～
byよし☆彡さん

私が最初にアワーグラスに出会ったのも静解析です。
例によって自作ソフトで、「低減積分にすると曲げの精度が上がるらしい」と
小耳に挟んで正直に組むと確かに厚み方向に粗い分割でも柔軟に曲がってくれたは良いものの、変形が進行すると．．．．パキ・ペキ・ポキと

アワーグラス＝動解析ではありませんね。
>静解析では選択積分という手もありますしね。
と、書きましたが、これでは控えめすぎですね。

#　2001年4月5日# 10時05分(木曜日)# Duffy#
CATってなんですか?

>パキ・ペキ・ポキと
はとても硬くなったという意味で宜しいですか。

>アワーグラス＝動解析ではありませんね。
>>静解析では選択積分という手もありますしね。
>と、書きましたが、これでは控えめすぎですね。

これを編集しようとしたのですが、力尽きました。
もう少し加筆いただけるとありがたいです。

#　2001年4月6日# 00時00分(金曜日)# よし☆彡#
わかる範囲で代弁すると、、、

>CATってなんですか?
Computer aided Testingで実験系ですね
テスト環境をコンピュータを使って支援することですね。
実験モーダルとか、結果の分析、整合取りなどなどです。

>パキ・ペキ・ポキと
>はとても硬くなったという意味で宜しいですか。

堅くなるのではなく、柔らかくなり各所でアワーグラスが
進行すると言うことですよ～。ゼロエネルギーですから、
積分点で応力が入ってないのに、変形が進行するのです。

#　2001年4月6日# 00時50分(金曜日)# ハッピー#
よし☆彡さん、有り難うございます。ここのところ帰宅時間が遅くなって。
>>CATってなんですか?
>Computer aided Testingで実験系ですね
そうですね。あと、うちの場合は3D形状測定も重要テーマです。

>>パキ・ペキ・ポキと
>積分点で応力が入ってないのに、変形が進行するのです。
はい。「パキ・ペキ・ポキ」と隣接する要素に変形が伝播する様子を
表現したつもりでした。

>書き足し、削除の件OKです。今のところ私の手作業ですが。
これは、やはり投稿者がした方がよいのでは？

>>>静解析では選択積分という手もありますしね。
「選択積分」は、例えば剪断剛性の項だけを低減積分すると
いうように、積分方法を使い分けるものです。完全積分と低減積分の
ハイブリッドというところでしょうか。
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜動的陽解ソフトでは、なぜ低減積分が主流なのでしょう？＞

#　2001年3月28日# 13時28分(水曜日)# りかぴん#
動的陽解ソフトでは、なぜ低減積分が主流なのでしょう？
私の知っているところでもＭ社のDYTRANも1点積分のはず
です。ただ単に時間短縮のためだけなのでしょうか？

#　2001年3月28日# 15時09分(水曜日)# shimizuf#
> 動的陽解ソフトでは、なぜ低減積分が主流なのでしょう？
> 私の知っているところでもＭ社のDYTRANも1点積分のはず
> です。ただ単に時間短縮のためだけなのでしょうか？

P**、R**、A**Ex***、など、全て基本は低減積分です。
全て、ローレンスリバモアにおられた当時のHallquist先生と
先に書いた、サンディアにおられたKey先生の研究成果から
出発していますので。

別の方が書いておられますが、ロッキングが回避できることも
重要なポイントではあります。が、主たる理由は、やはり計算
時間です。4点と1点では、1要素の計算が1／4程度で済む
わけですから。（実装ではそうはいかないでしょうが。。）

Hallquist先生自身も、70年代の中頃には、試行錯誤を繰り替え
したあげく、低減積分要素にたどり着いたはずです。

#　2001年3月28日# 22時25分(水曜日)# ハッピー#
妖怪法の世界では何はともあれ計算時間なわけですね。連立方程式を解かない上に、マトリックスの組み立て時間までケチろうとするわけですね。
静解析では選択積分という手もありますしね。
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜「アワーグラス」とはいったい何？＞

#　2001年3月27日# 18時37分(火曜日)# ちまき#
「アワーグラス」
よく聞く言葉なのですが，動解析をほとんどやらない
私め，具体的にどんな現象なのか見たことありません．
どなたかビシッと言葉の定義お願いします．
迷える子羊を導いて下さいませ．
よろしくお願い致します．

要素がくびれちゃうんですか？砂時計みたいに．

#　2001年3月27日# 23時50分(火曜日)# セロ弾きの豪州#
衝突解析では完全積分ですと剛性を過大評価してしまいますんで
一般には低減積分要素を使います。

しかし・・・これには副作用が(^ ^ゞテヘッ
可能性として変形モード以外の零エネルギーモードが出現してし
まいます・・・これにより結果の信頼度は著しく悪化してしまう
んですわ・・・アワーグラスの名の由来はこの零エネルギー変形
モードにより台形形状になった四角形シェル要素を二つつなげると
砂時計のように見えるところにあります。

一般的に衝突解析ソフトでは解析のログファイルにアワーグラス
エネルギーなるものを出力して解析結果の精度の目安にしていま
す(でないと通常は見た目じゃわからないし・・・)。

#　2001年3月28日# 00時02分(水曜日)# ハッピー#
一瞬の隙をつかれて、セロ弾きの豪州さんが先に....

「解析技術者を困らせ続けた「せん断ロッキング」。そこに神風のごとく登場した次数低減積分により回避できるようになり、一条の光が差したかに見えた。しかして、彼らを待ち受けたのは際限なく繰り返される蟻地獄。そう、グラスの中の蟻地獄＝砂時計の形にも見える不可思議な幾何学紋様。アワーグラスは魔性の魅力を持つがごとく今なお彼らをおびき寄せ苦しめ続けている。」

（下の絵のように、要素が台形と倒立台形が反復するように縦横に並びます。
　組み合わせを変えれば、そろばんのコマにも見えますが、アバカス・モード
　と呼んだ人は居ませんね。^^;;）
**********++++**********
+********++++++********
++******++++++++******
+++****++++++++++****
***++++**********++++
**++++++********++++++
*++++++++******++++++++
++++++++++****++++++++++

積分点数を4から1点に減らした1次4角形要素は、上の絵で言うと、台形の状態と倒立台形の状態が、セロ弾きの豪州さんが書かれた零エネルギーモードが生じ得ます。
どちらに転ぶかは計算機の誤差で決まるようなものでしょう。

#　2001年3月28日# 09時48分(水曜日)# shimizuf#
アワーグラスには、本当に泣かされた経験が多く。。。

流体で言うと、チェッカーボードパターン（圧力などが隣接要素で
＋と－の値を繰り返す。）に該当するものかと存じます。

二次元の四角形要素の場合に、低減積分（要素内一点）ですと、対角線
の長さが変わらないような、変形は、エネルギー0で、進行してしまう
ことが、本質的理由です。

このアワーグラスを抑える秘薬（一種の人工粘性）にも、歴史的経緯が
ありまして、最初の頃のアルゴリズムですと、積分点を減らして節約した
計算時間よりも、アワーグラス粘性の計算時間の方がよっぽどかかっていた
という、笑い話に近い話があります。この計算時間を徹底的に節約した
アルゴリズムの導入に初めて成功したのが、有名なDYNA3Dです。これが、
今日の陽解法の成功（理研の先生に怒られそうですが）のきっかけだったのです。
（1980年初頭の話です。）

現在のLS-DYNA等には、低減積分要素以外にも、まじめに積分する要素も入っていますので、「動的陽解法＝低減積分＋アワグラスコントロール」という図式は必ずしも成立しませんが。。。

弾塑性アルゴリズムのラジアルリターンの話は、機会がありましたら、また。

#　2001年3月28日# 09時55分(水曜日)# shimizuf#
米国サンディア国立研究所で、動的陽解法の二次元ソフトHONDO2を
開発されていた、サミュエル・キー(Dr. Samuel Key)先生は、
アワーグラスのことを「KEYSTONE」パターンと呼ばれていました。
（ご自身のお名前をもじって）
その後、御自身の会社を設立された後、ＭＳＣに入社されたのが、
確か12／13年前のことです。
(編集担当：imada 2001/12/17)

＜LS-DYNAの陰解法の件＞

#　2001年2月23日# 09時51分(金曜日)# shimizuf#
・Belytschko-Tsayのシェル要素に関しては、理論マニュアル
　（ＰＣ版では、ＰＤＦファイルで添付されていますが）に記載
　が、合ったような記憶があります。少なくとも原論文のリストが
　ユーザーマニュアルにあったはずです。　とにかく、計算時間の
　短縮化を第一義の目的とし、簡略化の多い要素定式化ですので。
　私は、何か疑わしい挙動があったら、即、Hughes-Liu型に変更
　するようにしています。
・ソリッド要素に関しても、低減要素でアワグラスが回避しきれない
　ような状況に遭遇したら、要素定式化を変更することで、うまく
　計算できるばあいもあり、LS-DYNAのこの辺りの機能は重宝しています。
　（DYNA3Ｄだと低減要素がつぶれたら、お手上げ）

#　2001年2月23日# 10時33分(金曜日)# よし☆彡#
>低減要素でアワグラスが回避しきれない
>ような状況に遭遇したら by shimizuf さん

アワーグラスの制御は確かに悩みますよね！

通常メッシュを増やせば回避できる予定のもので、
いろんなソルハ゛ーに推奨値がのってます。　しかしながら、
そもそもアワーグラス制御自体が工学的観点から
ずれてますので、（私が思ってるだけかも）、悩みは
つきません。
　　変わった例で言えばひもや縄の様な解析を行うときは、
推奨値の数十倍まで上げるのが常套手段になってたりします。
(編集担当：imada 2001/12/17)