<FEMの理論のイロハ:　要素内積分>

# 2002年1月10日 # No.2540 # ur #
”有限要素法へのガイド”戸川隼人氏著のP78に要素の歪みエネルギー
は U=h/2∫∫{u}T[B]T[D][B]{u}dxdyを要素内で積分した値、と書いてあります。
続いてU=(要素面積) x h/2{u}T[B]T[D][B]{u}と書いてあります。
ここで、式①の∫∫dxdyの部分が要素面積になっていると思うのですが、
要するにFEMで積分が出てくる理由って、要素の面積を求めるためなんですか?
また、要素の面積を求めるときに数式積分できない場合に、数値積分で面積
を求めてるってことですか?(違う気はします)
とんちんかんな質問かもしれませんが、よろしくお願い致します。

注意>
・平面応力状態(2次元)の場合を考えています。
・要素は三角形1次の定歪み要素


# 2002年1月10日 # No.2542 # よし☆彡 #
積分と停留条件がこの掲示板で同時に語られてたので気になってましたが、実は3角形要素、梁、バネなどで線形の物は積分は必要ですが数値積分を必要としない要素です。
　かっての有限要素は3角形要素しか存在しませんでしたが、複雑な形状関数を積分することは難しく困難かと思われたある日、数値積分法を持ち込むことにより複雑な形状関数、内挿関数を持つ要素も意図も簡単に疑似積分することを提案されました。その恩恵を我々が何も考えずに使っているという事です。


# 2002年1月11日 # No.2546 # ハッピー #
> ここで、式①の∫∫dxdyの部分が要素面積になっていると思うのですが、
> 要するにFEMで積分が出てくる理由って、要素の面積を求めるためなんですか?
by urさん

よし☆彡さんが適切に答えていらっしゃいますが、ちょっと補足させて下さい。
要素の面積を求めているのではなくて関数「[B]T[D][B]」を要素内で面積積分しています。
これが、三角形要素の場合は被積分関数がコンスタントなので、関数値に三角形の面積を掛ければ面積積分になりますが、4角形要素など他の要素では被積分関数が要素内で
変化するので数値積分で面積積分を行っています。

#単に面積を求めるだけなら、4角形も2つの3角形の和ですから数値積分は不要でしょう?


# 2002年1月11日 # No.2561 # ur #
>3角形要素、梁、バネなどで線形の物は積分は必要ですが数値積分を必要としない
>要素です。 かっての有限要素は3角形要素しか存在しませんでしたが、
> 複雑な形状関数を積分することは難しく困難かと思われたある日、
> 数値積分法を持ち込むことにより複雑な形状関数、内挿関数を持つ要素も> 意図も簡単に疑似積分することを提案されました。
by よし☆彡さん

御返信ありがとうございます。
そういうことですか!
形状関数の複雑さによって数式積分と数値積分を使いわけるのですね。

>三角形要素の場合は被積分関数がコンスタントなので、関数値に三角形の
> 面積を掛ければ面積積分になりますが、4角形要素など他の要素では
> 被積分関数が要素内で変化するので数値積分で面積積分を行っています。
by ハッピーさん

御返信ありがとうございます。
被積分関数が定数であれば、なるほど面積x被積分関数の形になりますね!
三角形2次要素の場合だと、形状関数が2次式(歪みが1次式)なので単純に
積分できないということですね。(四角形要素も2次式ですか?この本には
出てませんが・・・)
ところで、三角形1次要素の精度が悪いといわれている理由は、要素内の歪み
が一定であるため、計算される歪みエネルギーの精度が悪いから、と考えて
よいのでしょうか?
(I-DEASで線形静解析をするときも、三角1次要素が混じっていると”エラーが大きくなります!この要素はお勧めしません!”という警告が出力されます)
以上、よろしくお願い致します。


# 2002年1月12日 # No.2576 # えぽばく #
ひずみエネルギ-のことは良く分かりませんが,変位関数の次数が低いとその変形をうまく表現できないため,解析結果は実際の現象と合いません.
特に△1次要素は要素内のひずみが一定になりますので,片持ちはりの解析なんかではすごい変形の仕方をします.(一度やってみてください.おもしろいですよ.がきごきになりますから・・・)
同様の理由で,ソリッド要素は曲げに対しては堅めに計算されます.
シェルと違って四角形8節点要素でも変位関数が2次式なので理論上3次式になるたわみを精密には表現できません.
そんなこんなで,低次要素(特に△1次要素)の使用はお勧めできません.
変形が表現できないということはひずみエネルギーの精度が悪いということですからurさんの理解は正しいと思いますよ.

# 2002年1月15日 # No.2597 # ur #
返信ありがとう御座います。
三角1次要素で、片持ちはりの解析など実施してみます。
あと、

>シェルと違って四角形8節点要素でも変位関数が2次式なので理論上3次式に
>なるたわみを 精密には表現できません.
この辺も本などで確認してみます。

ありがとうございました!
(編集担当：Happy 2002/03/10)

＜仮想仕事の原理と最小仕事の原理、エネルギー原理の違いは？＞

#2000年6月1日#car#
有限要素法の本をみていたところ、構造解析において力のつりあい方程式を求める場合、剛性マトリックスを仮想仕事の原理から導く場合と最小仕事の原理（?）から求める方法がある、と記述されていたのですが、汎用CAEプログラムではこのどちらの方法でつりあり方程式を求めているソフトが多いのでしょうか？（ちなみに現在使用しているのはI-DEASなのですが、解析結果の中に歪エネルギーが出力されているという事は、最小仕事の原理でつりあり方程式をもとめていると考えて良いのでしょうか？）

#2000年6月1日#よし☆彡#
最小仕事の原理は仮想仕事の原理の中で出てくるので、　意味の違いは無いと思いますよ。　
たぶんエネルギー原理はどの方法で解いているのかと言う質問だと思うので、以下その通り答えさせて頂きます。
>汎用CAEプログラムではこのどちらの方法でつりあり方程式を求めてますか？
　変位条件 -> 適合条件 -> 応力歪関係 -> (仮想仕事の原理) -> 応力分布　で解く、マトリックス変位法がほとんどです。
　応力法は、異種要素間の適合性が取りにくいため汎用性が少ないと言われます。

#2000年6月2日#mi#
仮想仕事の原理とエネルキ゛原理（最小仕事）の関係は、一口で言えば、力積と運動エネルキ゛の関係と似ています。
高校の物理で、2つの質点が衝突したとき、衝突前の両者の速度から、衝突後の両者の速度を計算する方法を学んだと思います。そのとき、運動エネルギーから求める場合は、質点の方向を考えず1/2・mv^2としてエネルキ゛一定の法則から衝突後の2つの質点の速度が算出できます。
これに対して、力積を用いる場合は、衝突前の両者の速度だけでなく、方向もきちんと考えて、mv を計算します。
この関係は、エネルキ゛原理は方向を考えないでも計算できるのに対して、仮想仕事則は境界条件を乱さない方向に変位を与えていますので、このとき、方向についての境界条件が導入されていることになります。
もう少し、厳密に言えば、エネルキ゛原理において、最小エネルキ゛を計算する際の第一変分δu　が、仮想仕事則でいう仮想仕事になるわけです。
みな様の参考になればと思い、以上、私なりの理解を書いてみました。

#2000年6月2日#atmori#
http://www.hoops.ne.jp/~atmori/fem/femdif.txt
↑
そういえば、ちょっと前にこんな駄文を書いた記憶が。

#2000年6月2日#よし☆彡#
>むろん、この様に「ポテンシャルエネルギー最小化の法則」を使わずに剛性マトリクスを
>作ってもいいのですが、多くの場合はこの「ポテンシャルエネルギー最小化の法則」
>っていうのが使われているので微分方程式が出てくる、ということです。
>(何故、良く使われるか？っていうのはよくわからないのですが、多分いろいろと
>　便利なのでしょう）
by atmoriさん

　それは直接剛性マトリックスがかけるのは1次ですが、高次だと直接書けないからだと
思いますよ。
(編集担当：Happy 2001/12/13)