＜大変形問題でのペナルティ数の選定＞

#2000年11月17日#モＬＤ#
久々に、大変形非線形にトライアルしました。
とにかく間違いだらけで、苦痛の1週間でしたが
1．ペナルティ数
2．モール・クーロンのα値の決定について
詳しい文献等ご存知の方いましたら教えて下さい。
名著　弾塑性力学の基礎　吉田総仁著　共立出版
から、鍛造問題を解析してます。

#2000年11月17日#よし☆彡#
ペナルティ数αは問題によって違うから一概に決めれないのでは無いのかな？　低いと精度が悪く、高いと高サイクル振動が発生し発散しやすい様です。2xαが部位の剛性より下げた方が良いと思いますが、

モール・クーロンのα値って内部摩擦でしたっけ？
モール・クーロンは古典的な理論なので、実質的にはあまり使われてないのではないかな、決定の仕方の書いた本なんて無いような気もしますが、、あったら私も見てみたいな♪
　今日PAMのカンファレンスに参加したのですが、東京農工大の先生が降伏曲面の同定は必要だとおっしゃられ、2軸試験でチタンの異方性の曲面を試験をされてました。
等荷重ひっぱり、1対2荷重引っ張りなどの結果から決定してましたよ！試験機は自作されてた様でした。

#2000年11月18日#モＬＤ#
確かにα値低くすると解が収束しやすくなります。
こんなに影響がでるとは思わず、比較検討している段階ですが×2の意味は、塑性歪速度＝体積歪速度と考えるということなのでしょうか？

#2000年11月19日#よし☆彡#
×2の意味は,制約条件をG(u)、(uは変位）とすると、Π(ポテンシャル)=αG(u)^2なので、停留条件からδΠ/δu＝2αG(u)となるので、実質的にマトリックスに追加される剛性が2αになるようです。(実はこの掲示板で教えてもらいました!（笑）)
(編集担当：Happy 2001/12/12)

＜ペナルティ法って何？＞

#　1999年8月20日#よし☆彡 #
Hilber-Hughes法　と　アダプティブ・ペナルティー法の理論かコーディング出来るレベルの資料を下さい。

#　1999年8月26日#ハッピー#
「アダプティブ・ペナルティ法」って言われてましたけど、ペナルティ法というのは、支配方程式に付帯条件なんかを課すときにペナルティ数という怪しげなものを掛けて犬の散歩のようにひっつけるあれですよね？このペナルティ数をアダプティブに決定するということですか？

#　1999年8月27日#ハッピー#
今、手元（自宅）にあるのは昨年、機械学会のNo.98-67講習会「わかるエレメントフリー法」に行ったときのテキストです。（どこかの大学か少なくとも機械学会にはあるでしょう）この講習会はエレメントフリー・Galerkin法の入門だったのですが、剛性マトリックスの導出過程の項に、7ページにわたるエネルギー原理の定式化手法の一つとして記されています。Lagrange未定乗数法との比較の形で書かれていますが、違いは変位拘束条件を与えるときに、
・Lagrange未定乗数法
全ポテンシャルエネルギーπ＝｛歪みエネルギー｝－∫λ×（変位－既知変位）
に対し、
・ペナルティ法
全ポテンシャルエネルギーπ＝｛歪みエネルギー｝－∫α×（変位－既知変位）＾2
という違いです。
「ペナルティ法の方がプログラミングが容易であるが、このα（ペナルティ数）は人為的に決定しなければならない。これが無限大の場合は未定乗数法と等価となるが、数値的に不安定になる．．．」とあります。
やっぱり怪しげな数です。アダプティブに適切な値が決まるならともかく。
#　1999年8月27日#よし☆彡#
式というものは、なんか関連があるものなんですね。
未定乗数を既知とする代わりに拘束の次数を上げてやるわけですね。
こうすると確かに停留条件を適用したときに、未定乗数の項が無いのでマトリックスの拡張の必要もないのでプログラムは簡単にできると言うことですね！　
ありがとうございました。
追加で、修正Lagrange未定乗数法も情報を頂けますか？

#　1999年8月28日#ハッピー#
修正Lagrangeは、ＥＦＧＭ(ElemetFreeGalerkinMethod)の大御所、Belytschkoらの提案(Y.Y.Lu,T.Belytschko_and_L.Gu,'A_new_implementaion_of_the_Element_free_Galerkin_Method',Comp.Meth.Appl.Mech.Eng.139,49-74(1996)）によるもののようです。Lagrange未定乗数で記述された全ポテンシャルエネルギーに対し停留条件を与えて得られる仮想仕事の原理を部分積分すると、
｛変位拘束条件｝＝∫δλ（u－ｕ既知）ｄΓ
より、「Lagrange未定乗数λは物理的に変位境界における表面力に一致する」ことになる、即ち、λ＝σ・ｎであるので、これを仮想仕事の原理に代入するものです。最終的に得られる連立方程式は、
｛Ｋ＋Ｋ'｝＝Ｆ＋Ｆ'
の形になり、Ｋ'、Ｆ'に拘束状態を表すオペレータが含まれます。
この修正Ｌは、「ペナルティ法と同様にＫの正定値性が保たれ且つ自由度が増えない上に、ペナルティ数のような人為的な値が不要である特徴を有する」ということです。

そうそう、ペナルティ法は「計算力学ハンドブック」発行：日本機械学会(1998)に、ペナルティ型汎関数として接触問題、鍛造解析への適用法が示されていてそれぞれ、接触面反力の仮想仕事、非圧縮材料挙動を表すのにペナルティ法が使われているようです。
あと、構造解析とは異なりますが、ＭＡＲＣは磁場解析機能でローレンツゲージの拘束条件を導入するのに、やはりペナルティ法を用いています。説明会では「ペナルティ数はこれくらいの値にして下さい」と言われてましたが、値を変えると明らかに解が変わる。（プログラム開発者にとっての）便利さと精度は引き換えのようで、やはり一般向けの汎用ソフトではアダプティブなロジックが必要のような気がします。
(編集担当：Happy 2001/12/12)