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<FEMの理論のイロハ:　要素内積分>

# 2002年1月10日 # No.2540 # ur #
”有限要素法へのガイド”戸川隼人氏著のP78に要素の歪みエネルギー
は U=h/2∫∫{u}T[B]T[D][B]{u}dxdyを要素内で積分した値、と書いてあります。
続いてU=(要素面積) x h/2{u}T[B]T[D][B]{u}と書いてあります。
ここで、式①の∫∫dxdyの部分が要素面積になっていると思うのですが、
要するにFEMで積分が出てくる理由って、要素の面積を求めるためなんですか?
また、要素の面積を求めるときに数式積分できない場合に、数値積分で面積
を求めてるってことですか?(違う気はします)
とんちんかんな質問かもしれませんが、よろしくお願い致します。

注意>
・平面応力状態(2次元)の場合を考えています。
・要素は三角形1次の定歪み要素

# 2002年1月10日 # No.2542 # よし☆彡 #
積分と停留条件がこの掲示板で同時に語られてたので気になってましたが、実は3角形要素、梁、バネなどで線形の物は積分は必要ですが数値積分を必要としない要素です。
　かっての有限要素は3角形要素しか存在しませんでしたが、複雑な形状関数を積分することは難しく困難かと思われたある日、数値積分法を持ち込むことにより複雑な形状関数、内挿関数を持つ要素も意図も簡単に疑似積分することを提案されました。その恩恵を我々が何も考えずに使っているという事です。

# 2002年1月11日 # No.2546 # ハッピー #
> ここで、式①の∫∫dxdyの部分が要素面積になっていると思うのですが、
> 要するにFEMで積分が出てくる理由って、要素の面積を求めるためなんですか?
by urさん

よし☆彡さんが適切に答えていらっしゃいますが、ちょっと補足させて下さい。
要素の面積を求めているのではなくて関数「[B]T[D][B]」を要素内で面積積分しています。
これが、三角形要素の場合は被積分関数がコンスタントなので、関数値に三角形の面積を掛ければ面積積分になりますが、4角形要素など他の要素では被積分関数が要素内で
変化するので数値積分で面積積分を行っています。

#単に面積を求めるだけなら、4角形も2つの3角形の和ですから数値積分は不要でしょう?

# 2002年1月11日 # No.2561 # ur #
>3角形要素、梁、バネなどで線形の物は積分は必要ですが数値積分を必要としない
>要素です。かっての有限要素は3角形要素しか存在しませんでしたが、
> 複雑な形状関数を積分することは難しく困難かと思われたある日、
> 数値積分法を持ち込むことにより複雑な形状関数、内挿関数を持つ要素も> 意図も簡単に疑似積分することを提案されました。
by よし☆彡さん

御返信ありがとうございます。
そういうことですか!
形状関数の複雑さによって数式積分と数値積分を使いわけるのですね。

>三角形要素の場合は被積分関数がコンスタントなので、関数値に三角形の
> 面積を掛ければ面積積分になりますが、4角形要素など他の要素では
> 被積分関数が要素内で変化するので数値積分で面積積分を行っています。
by ハッピーさん

御返信ありがとうございます。
被積分関数が定数であれば、なるほど面積x被積分関数の形になりますね!
三角形2次要素の場合だと、形状関数が2次式(歪みが1次式)なので単純に
積分できないということですね。(四角形要素も2次式ですか?この本には
出てませんが・・・)
ところで、三角形1次要素の精度が悪いといわれている理由は、要素内の歪み
が一定であるため、計算される歪みエネルギーの精度が悪いから、と考えて
よいのでしょうか?
(I-DEASで線形静解析をするときも、三角1次要素が混じっていると”エラーが大きくなります!この要素はお勧めしません!”という警告が出力されます)
以上、よろしくお願い致します。

# 2002年1月12日 # No.2576 # えぽばく #
ひずみエネルギ-のことは良く分かりませんが,変位関数の次数が低いとその変形をうまく表現できないため,解析結果は実際の現象と合いません.
特に△1次要素は要素内のひずみが一定になりますので,片持ちはりの解析なんかではすごい変形の仕方をします.(一度やってみてください.おもしろいですよ.がきごきになりますから・・・)
同様の理由で,ソリッド要素は曲げに対しては堅めに計算されます.
シェルと違って四角形8節点要素でも変位関数が2次式なので理論上3次式になるたわみを精密には表現できません.
そんなこんなで,低次要素(特に△1次要素)の使用はお勧めできません.
変形が表現できないということはひずみエネルギーの精度が悪いということですからurさんの理解は正しいと思いますよ.

# 2002年1月15日 # No.2597 # ur #
返信ありがとう御座います。
三角1次要素で、片持ちはりの解析など実施してみます。
あと、

>シェルと違って四角形8節点要素でも変位関数が2次式なので理論上3次式に
>なるたわみを精密には表現できません.
この辺も本などで確認してみます。

ありがとうございました!
(編集担当：Happy 2002/03/10)

＜シェルの積分点＞

# 2001年6月24日 # ハム太郎 #
Nastranは通常、積分点が中心にしかありませんが、I-DEASでは4つ(正確には表裏で8つと思いますが)あります。Nastranの結果を読むと、中心の結果を4つの節点に同じ値で入力します。Nastranで流すときに、STRESS(CORNAR)だったかの指定で流せば、Nastranの方の結果も積分点が増えて、4隅で別々の値をとったと記憶しています。
I-DEASの変換ソフトは、どっちでも読めたと思います。

# 2001年6月24日 # ハッピー #
「積分点」というのは、剛性マトリックスを数値積分で求めるための点で一般にはガウスの積分公式が用いられるので、ガウスポイントと呼んだりもします。
均質材料の線形解析であれば、シェル要素は中立面上に4点の積分点があると思います。
・Nastranも恐らく4点あるでしょうが、出力するときに要素中心点で応力を計算し直して出力しているものと思います。また節点位置でも出力できます。ただ、これら要素中心、節点位置での応力値が、積分点での結果から内外挿で求めたものか、それぞれの位置で計算したものかは忘れました。
・IDEASも積分点そのものは中立面上の4点で、応力の計算を各積分点位置の表裏位置で行っているものと思います。違っていたらスミマセン

基本的に、線形解析ではシェル、ソリッドに関わらず任意の位置で応力の計算は出来ます。
特にシェルの場合、応力は面内のメンブレン成分と曲げ成分の重ね合わせになるわけで、メンブレン成分は表裏で変わりませんし、曲げ成分は表裏で符号が変わるだけです。

一方、積層材料や弾塑性解析になると、厚み方向に材質特性が変化しますから、厚み方向にも複数の積分点が必要になります。これは、最低でも3点(表裏+中立面位置)で、通常は5点程度と思います。ただ、殆どの場合、表面応力を評価しますから、表裏2点(この場合は積分点=計算点)の応力を抽出してコンターを作図しています。
なお、板厚方向の積分にはガウス積分はあまり用いられず、シンプソン則や台形公式他が用いられるようです。というのは、ガウス積分では、表裏面=積分区間の両端点に積分点が来ないため、と思います。

# 2001年6月25日 # ハム太郎 #
Nastranは普通使われている「ガウスポイント」からすると少し変だと思っていたのですが、そうなんですね。
I-DEASは、Integration pointで出力を出せるオプションがあるのですが、4角形シェルだと8つ出ます。
節点での応力と積分点での応力を両端単純支持の曲げモデルで比較しても、曲げ方向の応力成分の値が違って出てくるので、積分点は厚み方向でも表裏面上でなく、少し内側に入っているのかなあ?と勝手に思っていますが・・・

# 2001年6月27日 # ハッピー #
> 4点曲げをやったつもりだったのですが、間違って設定してしまったかも・・・
byハム太郎さん

Y
|
A++++B+++++++++C++++D
x++++x+++++++++x++++x
E++++F+++++++++G++++H-->X

このような板で、ラインA-E、D-Hを支持して、ラインB-F、C-Gに線荷重を-z方向に掛けると板は-z方向に撓みます。このとき、板の上下面ではポアソン比によってy方向の引っ張り・圧縮が生じます。上面ではx方向の圧縮に対してy方向に伸びようとし、下面では逆にx方向の引っ張りによってy方向には縮もうとする。
結果、板は幅方向にも反る(長手方向とは逆の反り)ことになります。その変形状態から「鞍型変形」と呼ばれます。ところが、A-E、D-Hをz方向拘束すると両端で鞍型変形が拘束されることになり、その結果としてxy面内の応力分布がx、y方向で変化することになります。
つまり、4点曲げで期待するのは、B-F/C-G間が完全に一様な曲げ応力状態になって欲しいところが、この拘束によって一様にならず、x、y両方向に分布が生じます。
すると、積分点位置と節点位置で応力値が異なるのは自然でしたね。

これを確認する為に、A-E、D-Hに一様な曲げモーメントを掛けて(等価な節点モーメントにする必要があります)計算すると、きれいな鞍型変形が得られ、全面が一様な曲げ応力状態となりました。なお、z方向拘束は剛体移動を防ぐ為に1点のみ拘束。
(編集担当：Happy 2002/01/05)